Андрей Дубовсков родился в 1966 году в г. Алма-Ате (Казахстан). Начал свою карьеру в сфере телекоммуникаций в 1993 году, последовательно работая в ряде российских и зарубежных телекоммуникационных компаний. С 2002 по 2004 год был генеральным директором компании Группы «Теле2» в Нижнем Новгороде.
В 2004 году перешел на работу в ОАО «МТС», заняв пост директора филиала компании в Нижнем Новгороде. В 2006-2007 годах был директором макрорегиона «МТС Урал», а затем возглавил бизнес-единицу «МТС Украина». В 2011 году назначен президентом, председателем Правления ОАО «МТС».